Exercices — Les éléments chimiques et la radioactivité

1. L’Univers est composé essentiellement d’hydrogène H (environ les trois quarts de sa masse) et d’hélium He (presque tout le reste). Tous les autres éléments réunis ne représentent qu’environ 2 % de la matière.

2. Les êtres vivants sont surtout constitués d’oxygène O, de carbone C, d’hydrogène H et d’azote N. Ce sont les éléments de l’eau et des molécules organiques.

3. Les éléments plus lourds que l’hélium ont été fabriqués au cœur des étoiles, par des réactions de fusion nucléaire (puis dispersés dans l’espace à la mort des étoiles).

Réflexe à retenir : « nous sommes des poussières d’étoiles » n’est pas qu’une jolie phrase, c’est exactement ce que dit ce cours.

1. C’est une fusion : deux (ou plusieurs) noyaux légers s’assemblent pour former un noyau plus lourd. C’est la source d’énergie des étoiles.

2. C’est une fission : un noyau lourd (l’uranium) se casse en noyaux plus légers. C’est la réaction exploitée dans les centrales nucléaires.

Astuce pour ne jamais confondre : fu-sion = ré-union de noyaux légers ; fission = scission (cassure) d’un noyau lourd. Dans les deux cas, la transformation libère de l’énergie.

1. La demi-vie $t_{1/2}$ est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents se sont désintégrés.

2. À chaque demi-vie écoulée, le nombre de noyaux restants est divisé par 2 :

• au bout de 5 jours (1 demi-vie) : $8\ 000 \div 2 = 4\ 000$ noyaux ;
• au bout de 10 jours (2 demi-vies) : $4\ 000 \div 2 = 2\ 000$ noyaux ;
• au bout de 15 jours (3 demi-vies) : $2\ 000 \div 2 = 1\ 000$ noyaux.

Astuce de vérification : après $n$ demi-vies, il reste $\dfrac{N_0}{2^n}$ noyaux. Ici $\dfrac{8\ 000}{2^3} = \dfrac{8\ 000}{8} = 1\ 000$ ✓.

1. On cherche combien de fois il faut diviser par 2 pour passer de 100 % à 25 % :

$100\ \% \xrightarrow{\ 1\ \text{demi-vie}\ } 50\ \% \xrightarrow{\ 1\ \text{demi-vie}\ } 25\ \%$

Il s’est donc écoulé 2 demi-vies.

2. L’âge du bois vaut :

$t = 2 \times t_{1/2} = 2 \times 5\ 700 = 11\ 400\ \text{ans}$

Réflexe à retenir : en datation, on raisonne toujours en nombre de demi-vies écoulées (100 % → 50 % → 25 % → 12,5 %…), puis on multiplie par la valeur de la demi-vie.

1. 24 jours représentent $24 \div 8 = 3$ demi-vies. La masse est divisée par 2 à chaque demi-vie :

$0{,}80\ \text{mg} \rightarrow 0{,}40\ \text{mg} \rightarrow 0{,}20\ \text{mg} \rightarrow 0{,}10\ \text{mg}$

Il reste donc $m = 0{,}10$ mg d’iode 131 (soit $\dfrac{m_0}{2^3} = \dfrac{0{,}80}{8}$ ✓).

2. Après $n$ demi-vies, il reste la fraction $\dfrac{1}{2^n}$ de la masse initiale. On teste :

$\frac{1}{2^6} = \frac{1}{64} \approx 1{,}6\ \% \qquad \text{et} \qquad \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128} \approx 0{,}8\ \%$

Il faut donc 7 demi-vies pour passer sous 1 %, soit :

$t = 7 \times 8 = 56\ \text{jours}$

Réflexe à retenir : « moins de 1 % » signifie « divisé par plus de 100 » ; comme $2^7 = 128$ est la première puissance de 2 qui dépasse 100, la réponse est 7 demi-vies. C’est ce raisonnement qu’on attend en contrôle, pas une formule compliquée.