Ton jeu de cartes mélangé est sûrement unique au monde
52 cartes, et un nombre d'ordres possibles à 68 chiffres. Même en mélangeant sans arrêt depuis le Big Bang, l'humanité n'en aurait exploré qu'une miette.
- Oui, sûrement des milliers de fois
- Oui, au moins une fois
- Presque sûrement jamais (bonne réponse)
Les réponses proposées, la bonne est cochée.
Un nombre à 68 chiffres
Pour la 1re carte du paquet, il y a 52 possibilités ; pour la 2e, il en reste 51 ; puis 50… et la dernière n’a plus le choix. Le nombre d’ordres possibles est donc 52 × 51 × 50 × … × 2 × 1, un produit qu’on note 52! et qu’on lit « factorielle 52 » (dénombrement, en terminale).
Nombre d’ordres d’un jeu de 52 cartes
52! ≈ 8,07 × 10⁶⁷
Un 8 suivi de 67 chiffres. Le nombre exact s’affiche en entier sous le jeu de cartes, plus bas.
Le calcul du quiz
Imagine que 8 milliards d’humains mélangent chacun un jeu par seconde, depuis le Big Bang, il y a 13,8 milliards d’années, soit environ 4,4 × 10¹⁷ s :
Mélanges faits depuis le Big Bang
8 × 10⁹ × 4,4 × 10¹⁷ s × 1 mélange/s ≈ 3,5 × 10²⁷ mélanges
Soit environ 2 × 10⁴⁰ fois moins que le nombre d’ordres possibles.
Et même en cherchant deux mélanges identiques n’importe lesquels (le paradoxe des anniversaires, qui augmente beaucoup les chances de coïncidence), la probabilité qu’il y en ait eu un seul dans ce scénario reste de l’ordre de 10⁻¹³. D’où le « presque sûrement » : ce n’est pas impossible, c’est seulement astronomiquement improbable.
Mélange-le
Chaque carte garde la couleur de sa place de départ. Mélange à l’américaine plusieurs fois, et regarde l’arc-en-ciel se défaire.
- A de pique
- 2 de pique
- 3 de pique
- 4 de pique
- 5 de pique
- 6 de pique
- 7 de pique
- 8 de pique
- 9 de pique
- 10 de pique
- V de pique
- D de pique
- R de pique
- A de cœur
- 2 de cœur
- 3 de cœur
- 4 de cœur
- 5 de cœur
- 6 de cœur
- 7 de cœur
- 8 de cœur
- 9 de cœur
- 10 de cœur
- V de cœur
- D de cœur
- R de cœur
- A de carreau
- 2 de carreau
- 3 de carreau
- 4 de carreau
- 5 de carreau
- 6 de carreau
- 7 de carreau
- 8 de carreau
- 9 de carreau
- 10 de carreau
- V de carreau
- D de carreau
- R de carreau
- A de trèfle
- 2 de trèfle
- 3 de trèfle
- 4 de trèfle
- 5 de trèfle
- 6 de trèfle
- 7 de trèfle
- 8 de trèfle
- 9 de trèfle
- 10 de trèfle
- V de trèfle
- D de trèfle
- R de trèfle
- Mélanges à l'américaine d'affilée
- 0
- Suites montantes
- 1 (jeu neuf : 1 · jeu bien mélangé : 26,5 en moyenne)
Le jeu est rangé : les couleurs de fond suivent l'ordre de départ, comme un arc-en-ciel.
Nombre d'ordres possibles, 52! en entier : 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000
« Soigneusement », c’est combien de fois ?
Tout ce calcul suppose un jeu vraiment mélangé au hasard. Or un mélange à l’américaine (on coupe le paquet en deux et on intercale les deux moitiés) ne mélange pas tant que ça : les cartes gardent des traces de leur ordre de départ. Ces traces se comptent avec les suites montantes : des cartes qui se suivaient au départ et qui apparaissent encore dans le bon ordre, même séparées. Un jeu neuf en a 1, chaque mélange à l’américaine peut au plus doubler ce nombre, et un jeu parfaitement mélangé en compte 26,5 en moyenne.
En 1992, les mathématiciens Dave Bayer et Persi Diaconis ont montré qu’il faut environ 7 mélanges à l’américaine pour qu’un jeu de 52 cartes soit proche d’un mélange parfait. En dessous, l’ordre de départ se devine encore nettement.