Grand public Derrière le quiz

204 carrés cachés dans un échiquier

64 cases, mais bien plus de carrés : il suffit d'arrêter de regarder les cases une par une. Le décompte taille par taille, la formule qui en sort, et le mystère des 1 296 rectangles.

Combien de carrés peut-on compter sur un échiquier ?
  • 64
  • 65
  • 204 (bonne réponse)
  • 1 296

Les réponses proposées, la bonne est cochée.

Compter taille par taille

Les 64 cases sont des carrés de 1 × 1. Mais un bloc de 2 × 2 cases forme aussi un carré, un bloc de 3 × 3 aussi, et ainsi de suite jusqu’au grand carré de 8 × 8, l’échiquier entier. Pour compter les carrés d’une taille donnée, il suffit de suivre leur coin en haut à gauche. Un carré de 3 × 3 cases peut commencer sur 6 colonnes différentes et sur 6 lignes différentes : 6 × 6 = 36 carrés.

Nombre de carrés de k × k cases

(9 − k)²

De k = 1 à k = 8 : 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 204 carrés.

Fais-les défiler

Choisis une taille : tous les carrés de cette taille s’allument, un par un.

Taille du carré (en cases de côté) :

Choisis une taille pour faire défiler ses carrés.

64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 204

La formule pour n’importe quel damier

204, c’est la somme des carrés des nombres de 1 à 8 : 1² + 2² + … + 8². Pour un damier de n cases de côté, cette somme se calcule d’un coup, quelle que soit la valeur de n :

Somme des carrés de 1 à n

12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)61^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Avec n = 8 : 8 × 9 × 17 ÷ 6 = 204. Avec n = 10, le damier du jeu de dames : 10 × 11 × 21 ÷ 6 = 385 carrés.

Cette formule est un grand classique du raisonnement par récurrence, en terminale.

Et les 1 296 du quiz ?

Ce nombre ne sortait pas de nulle part : c’est le nombre de rectangles d’un échiquier, carrés compris. Un rectangle est entièrement fixé par ses deux bords verticaux et ses deux bords horizontaux, et l’échiquier est tracé avec 9 lignes dans chaque sens. Choisir 2 lignes parmi 9, c’est 9 × 8 ÷ 2 = 36 possibilités (des combinaisons, en terminale). D’où 36 × 36 = 1 296 rectangles, dont 204 carrés.

Petite coïncidence qui n’en est pas une : 1 296, c’est aussi 1³ + 2³ + … + 8³. La somme des cubes des premiers entiers est égale au carré de leur somme, quel que soit le nombre de termes : (1 + 2 + … + 8)² = 36² = 1 296.

Sources